Question

12．已知命題p：函數f（x）=x³+ax²+x在R上是增函數；命題q：若函數g（x）=e^x-x+a在區間[0，+∞）沒有零點．
（1）如果命題p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如果命題p為真命題，則f′（x）=3x²+2ax+1≥0對x∈（-∞，+∞）恒成立，進而得到實數a的取值范圍；
（2）如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則p，q一真一假，進而得到實數a的取值范圍．

解答 解：（1）如果命題p為真命題，
∵函數f（x）=x³+ax²+x在R上是增函數，
∴f′（x）=3x²+2ax+1≥0對x∈（-∞，+∞）恒成立…（3分）
∴$△=4{a^2}-12≤0⇒a∈[{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}]$…（6分）
（2）g′（x）=e^x-1≥0對任意的x∈[0，+∞）恒成立，
∴g（x）在區間[0，+∞）遞增
命題q為真命題g（0）=a+1＞0⇒a＞-1…（9分）
由命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題知p，q一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}≤a≤\sqrt{3}\\ a≤-1\end{array}\right.⇒a∈[{-\sqrt{3}，-1}]$…（11分）
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}a＜-\sqrt{3}或a＞\sqrt{3}\\ a＞-1\end{array}\right.⇒a∈（\sqrt{3}，+∞）$…（13分）
綜上所述，$a∈[{-\sqrt{3}，-1}]∪（\sqrt{3}，+∞）$…（14分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了導數法研究函數的單調性，復合命題，函數的零點，難度中檔．