Question

6．已知a∈R，若f（x）=（x+$\frac{a}{x}$-1）e^x在區間（1，3）上有極值點，則a的取值范圍是（-∞，-$\frac{27}{4}$）．

Answer 1

分析 求出函數f（x）的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間，從而求出滿足條件的a范圍即可．

解答 解：∵f（x）=（x+$\frac{a}{x}$-1）e^x，
∴f′（x）=（$\frac{{x}^{3}+ax-a}{{x}^{2}}$）e^x，
設h（x）=x³+ax-a，
∴h′（x）=3x²+a，
a≥0時，h′（x）＞0在（1，3）上恒成立，
即函數h（x）在（1，3）上為增函數，
∵h（1）=1＞0，函數f（x）在（1，3）無極值點，
a＜0時，h（x）=x³+a（x-1），
∵x∈（1，3），h′（x）=3x²+a，
令h′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{-\frac{a}{3}}$或x＜-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，
故h（x）在（0，$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）遞減，在（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，+∞）遞增，
若$\sqrt{-\frac{a}{3}}$≥3，即a≤-27時，h（x）在（1，3）遞減，h（1）＞0，
若$f（x）=（{x+\frac{a}{x}-1}）{e^x}$在區間（1，3）上有極值點，
只需h（3）=27+2a＜0，解得：a＜-$\frac{27}{2}$，符合題意；
若$\sqrt{-\frac{a}{3}}$≤1，即-3≤a＜0時，h（x）在（1，3）遞增，不合題意；
若1＜$\sqrt{-\frac{a}{3}}$＜3即-27＜a＜-3時，
h（x）在（1，$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）遞減，在（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，3）遞減，
h（x）_min=h（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）＜0，解得：a＜-$\frac{27}{4}$，
綜上：a∈（-∞，-$\frac{27}{4}$），
故答案為：（-∞，-$\frac{27}{4}$）．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．