Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=2，DC=3，AD=1．E是DC上一點，且DE=1，連接AE，將△DAE沿AE折起到△D₁AE的位置，使得∠D₁AB=30°，設AC與BE的交點為O．
（1）試用基向量

AB

，

AE

，

AD1

表示向量

CD1

；
（2）求異面直線OD₁與BC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據向量的基本定理即可得到結論．
（2）設異面直線OD₁與BC所成的角為θ，然后根據向量的夾角公式即可．

解答： 解：（1）

CD1

=

CE

+

ED1

=

AE

-

AC

+

AD1

-

AE

=-

AE

-

AB

-

AD1

 
（2）設異面直線OD₁與BC所成角的θ，
則cosθ=|cos＜

OD1

，

AE

＞|=|cos＜

OD1

，

BC

＞|=|

OD1 • AE

| OD1 || AE |

|
∵

OD1

•

OE

=(

AD1

-

1

2

AB

-

1

2

AE

)•

AE

=

AD1

•

AE

-

1

2

AB

•

AE

-

1

2

AE

2=1×

2

×cos45°-

1

2

×2×

2

×cos45°-

1

2

×(

2

)2=-1，
|

OD1

|=

( AD1 - 1 2 AB - 1 2 AE )2

=

6

2

，
則cosθ=|cos＜

OD1

，

BC

＞|=|

OD1 • AE

| OD1 || AE |

|=

1

6 2 × 2

=

3

3

故異面直線OD₁與BC所成角的余弦值是

3

3

．

點評：本題主要考查異面直線所成角的求解，利用向量法是解決本題的關鍵．