Question

（1）若函數y=log₂（ax²+2x+1）的定義域為R，則a的范圍為

 

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（2）若函數y=log₂（ax²+2x+1）的值域為R，則a的范圍為

 

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Answer 1

考點：函數的值域,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）根據函數y=log₂（ax²+2x+1）定義域為R，得到ax²+2x+1的值恒為正，由圖象特征進行分類討論，研究所得一次函數或二次函數的圖象應在x軸上方，得到本題結論；（2）函數y=log₂（ax²+2x+1）的值域為R，得到ax²+2x+1可取到所有的正數，根據圖象特征進行分類討論，研究對應的一次函數和二次函數的特征，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵函數y=log₂（ax²+2x+1）的定義域為R，
∴y=ax²+2x+1的值恒為正，
當a=0時，y=2x+1∈R，不合題意；
當a≠0時，y=ax²+2x+1圖象在x軸上方，
∴a＞0，
△=2²-4a＜0，
∴a＞1．
（2）∵函數y=log₂（ax²+2x+1）的值域為R，
∴函數y=ax²+2x+1可取到所有的正數，
當a=0時，y=2x+1∈R，適合題意；
當a≠0時，y=ax²+2x+1圖象開口向上，頂點在x軸下方，
∴a＞0，
△=2²-4a≥0，
∴0＜a≤1．
綜上，0≤a≤1．
故答案為：（1）（1，+∞）；（2）[0，1]．

點評：本題考查了函數的定義域的值域、函數圖象與性質的關系，本題難度不大，屬于基礎題．