Question

已知數(shù)列{a_n}的a₁=2，設其前n項和為S_n，且對任意的n∈N₊，n≥2，a_n總是3S_n-4和2-

5

2

Sn-1的等差中項，則下列各式成立的是（　　）
①S_n•S_n+2＞S²_n+1；
②S_n•S_n+2＜S²_n+1；
③S_n+S_n+2＜2S_n+1
④S_n+S_n+2＞2S_n+1．

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：n≥2，a_n總是3S_n-4和2-

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2

Sn-1的等差中項，可得2a_n=3S_n-4+2-

5

2

Sn-1，由此能導出數(shù)列{a_n}是首項是2，公比是

1

2

的等比數(shù)列，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再求出S_n=4-(

1

2

)n-2，利用作差法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵n≥2，a_n總是3S_n-4和2-

5

2

Sn-1的等差中項，
∴2a_n=3S_n-4+2-

5

2

Sn-1
∴2a_n=3S_n-

5

2

Sn-1-2
∴a_n+S_n-4=0，（n≥2）
∴當n≥3時，a_n-1+S_n-1-4=0
∴a_n-a_n-1+a_n=0即2a_n=a_n-1，（n≥3）
又a₂+S₂-4=0，
∴a₂=1．
∴a_n=(

1

2

)n-2，
∴S_n=4-(

1

2

)n-2，
∴S_n•S_n+2-S²_n+1=16-20•(

1

2

)n+4•(

1

2

)2n-16+16•(

1

2

)n+4•(

1

2

)2n=-4•(

1

2

)n＜0，即②正確；
S_n+S_n+2-2S_n+1=4-(

1

2

)n-2+4-(

1

2

)n-2[4-(

1

2

)n-1]＜0，即③正確．
故選：B．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．