Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且acosB=（

2

c-b）cosA．
（1）求∠A的大小；   
（2）若a=

10

，cosB=

2 5

5

，D為AC的中點(diǎn)，求BD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1））△ABC中，由acosB=（

2

c-b）cosA，利用正弦定理求得cosA=

2

2

，可得 A的值．
（2）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．

解答： 解：（1）△ABC中，由acosB=（

2

c-b）cosA，利用正弦定理可得sinAcosB=

2

sinCcosA-sinBcosA，
化簡可得 sin（A+B）=

2

sinCcosA，即 sinC=

2

sinCcosA，求得cosA=

2

2

，∴A=

π

4

．
（2）由cosB=

2 5

5

，可得sinB=

5

5

，再由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，即

10

2 2

=

b

5 5

，求得b=AC=2．
△ABC中，由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠A，即10=AB²+4-2AB•2•

2

2

，求得AB=3

2

．
△ABD中，由余弦定理可得 BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠A=18+1-6

2

•

2

2

=13，∴BD=

13

．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．