Question

若存在不為零的常數T，使得函數y=f（x）對定義域內的任意x均有f（x+T）=f（x），則稱函數y=f（x）為周期函數，其中常數T就是函數的一個周期．
（1）證明：若存在不為零的常數a使得函數y=f（x）對定義域內的任一x均有f（x+a）=-f（x），則此函數是周期函數；
（2）若定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f（x+1）=-f（x），試探究此函數在區間[-2008，2008]內的零點的最少個數．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由于存在不為零的常數a使得函數y=f（x）對定義域內的任一x均有f（x+a）=-f（x），可得f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），即可得出此函數是周期．
（2）由于定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），于是函數f（x）是以2為周期的周期函數．由于f（0）=0，可得f（0）=f（2）=f（4）=…=f（2008）=f（-2）=f（-4）=…=f（-2008），即可得出此函數在區間[-2008，2008]內的零點的最少個數．

解答： （1）證明：∵存在不為零的常數a使得函數y=f（x）對定義域內的任一x均有f（x+a）=-f（x），
∴f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），
∴此函數是周期為2a的周期函數．
（2）解：∵定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函數f（x）是以2為周期的周期函數．
∵f（0）=0，
∴f（0）=f（2）=f（4）=…=f（2008）=f（-2）=f（-4）=…=f（-2008），
∴此函數在區間[-2008，2008]內的零點的最少個數為1004×2+1=2009．
∴此函數在區間[-2008，2008]內的零點的最少個數為2009．

點評：本題考查了函數奇偶性與周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．