Question

5．已知A={x|x²-5x+4≤0}，B={x|x²-2ax+a+2≤0}，且B⊆A，則a的取值范圍為（　　）

• A． [2，$\frac{18}{7}$]
• B． （-1，$\frac{18}{7}$]
• C． （-∞，$\frac{18}{7}$]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 化簡集合A，B，根據B⊆A，建立條件關系即可求實數a的取值范圍．

解答 解：由題意：A={x|x²-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}，B={x|x²-2ax+a+2≤0}
∵B⊆A，
∴當B=∅時，滿足題意，此時x²-2ax+a+2≤0無解，△＜0，4a²-4（a+2）＜0，
解得：-1＜a＜2．
當B≠∅時，要使B⊆A成立，此時令f（x）=x²-2ax+a+2≤0有解，
根據二次函數根的分布，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥0}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-2a+a+2≥0}\\{16-8a+a+2≥0}\end{array}\right.$
解得：a≤$\frac{18}{7}$，
綜上可得：a≤$\frac{18}{7}$，
故選C．

點評 本題考查的知識點是集合的包含關系判斷及應用，利用到了二次函數根的分布來求解集合關系中的參數問題，難度中檔．