Question

7．設x，y滿足條件|x-1|+|y|≤2，若目標函數z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（其中a＞b＞0）的最大值為5，則a+8b的最小值為$\frac{21}{5}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數可得5=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$，然后利用基本不等式求得a+8b的最小值．

解答 解：由約束條件作出可行域如圖，A（1，2）．
目標函數z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（其中a＞b＞0）的最大值為5，
∴5=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$，
∴$\frac{1}{5}$•（a+8b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=$\frac{1}{5}$（1+16+$\frac{2a}{b}$+$\frac{8b}{a}$）
≥$\frac{1}{5}$（17+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{8b}{a}}$）=$\frac{21}{5}$，
當且僅當a=1，b=$\frac{1}{2}$取等號，
故則a+8b的最小值為$\frac{21}{5}$

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．