Question

4．已知f（x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$（a＞0，且a≠1）．
（1）證明f（x）為奇函數；
（2）求使f（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1+x}{1-x}$＞0，求得函數的定義域為（-1，1），關于原點對稱．再根據f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數．
（2）不等式f（x）＞0，即 ${log}_{a}\frac{1+x}{1-x}$＞0，分類討論a的范圍，利用函數的單調性，求得x的范圍．

解答 證明：（1）由題意可得$\frac{1+x}{1-x}$＞0，即（1+x）（1-x）＞0，
即 （x+1）（x-1）＜0，求得-1＜x＜1，
所以函數定義域為（-1，1），關于原點對稱．
再根據f（-x）=${log}_{a}\frac{1-x}{1+x}$=-${log}_{a}\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），可得f（x）為奇函數．
解：（2）不等式f（x）＞0，即 ${log}_{a}\frac{1+x}{1-x}$＞0，
由（1）得函數定義域為函數定義域為（-1，1），
當a＞1時，即 ${log}_{a}\frac{1+x}{1-x}$＞log_a1，∴$\frac{1+x}{1-x}＞1$，
即$\frac{2x}{x-1}$＜0，∴2x（x-1）＜0，求得  0＜x＜1．
當0＜a＜1時，f（x）＞0，即 ${log}_{a}\frac{1+x}{1-x}$＞log_a1，∴0＜$\frac{1+x}{1-x}$＜1，
即 $\frac{x+1}{x-1}$＜0，且$\frac{2x}{x-1}$＞0，∴-1＜x＜0．
綜上，當a＞1時，不等式的解集為（0，1），當0＜a＜1時，不等式的解集為（-1，0）．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的判斷和證明，利用函數的單調性和奇偶性，解不等式，屬于中檔題．