Question

18．已知函數f（x）對任意自然數x，y均滿足：f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，且f（1）≠0，則f（2014）=（　　）

• A． 1007
• B． 1006
• C． 2014
• D． 2013

Answer 1

分析 利用賦值法求出f（x）的解析式之間的關系，即可求f（2014）的值．

解答 解：由題意：函數f（x）對任意自然數x，y均滿足：f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，
∴取x=y=0，可得f（0）=0，
取x=0，y=1，得f（1）=f（0）+2[f（1）]²，即f（1）=2[f（1）]²．
∵f（1）≠0，
∴f（1）=$\frac{1}{2}$．
取x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+2[f（1）]2=f（n）+$\frac{1}{2}$．
即f（x+1）-f（x）=$\frac{1}{2}$
那么：f（2013+1）-f（2013）=$\frac{1}{2}$
f（2012+1）-f（2012）=$\frac{1}{2}$
f（2011+1）-f（2011）=$\frac{1}{2}$
…
…
f（2+1）-f（2）=$\frac{1}{2}$
f（1+1）-f（1）=$\frac{1}{2}$
等式的左邊加左邊=右邊加右邊．
即：f（2014）-f（1）=$\frac{1}{2}$×2013
那么：f（2014）=$\frac{2013}{2}+\frac{1}{2}$=1007．
故選A．

點評 本題考查了利用賦值法求解抽象函數的解析式和遞推關系求值的問題．屬于中檔題．