Question

13．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BB₁=2，求：
（1）異面直線B₁C₁與A₁C所成角的大小；
（2）四棱錐A₁-B₁BCC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由B₁C₁∥BC，知∠BCA₁是異面直線B₁C₁與A₁C所成角，由此能求出異面直線B₁C₁與A₁C所成角大小．
（2）四棱錐A₁-B₁BCC₁的體積V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{{A}_{1}-ABC}$，由此能求出結果．

解答 解：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁C₁∥BC，
∴∠BCA₁是異面直線B₁C₁與A₁C所成角，…（2分）
在△BCA₁中，BC=1，${A}_{1}B=\sqrt{5}$，${A}_{1}C=\sqrt{5}$，
∴cos∠BCA₁=$\frac{B{C}^{2}+C{{A}_{1}}^{2}-B{{A}_{1}}^{2}}{2BC•C{A}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，…（5分）
∴$∠BC{A_1}=arccos\frac{{\sqrt{5}}}{10}$，
∴異面直線B₁C₁與A₁C所成角大小為arccos$\frac{\sqrt{5}}{10}$．…（7分）
（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BB₁=2，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
${V}_{{A}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•A{A}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴四棱錐A₁-B₁BCC₁的體積V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（14分）

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．