Question

10．已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，對?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，當x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．給出下列命題
（1）f（1）=0        
（2）f（x）在[-2，2]上有4個零點
（3）點（2016，0）是函數y=f（x）的一個對稱中心
（4）x=2014是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸．
則正確是（1）（3）．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性和周期性，單調性之間的關系，分別進行判斷即可得到結論．

解答 解：∵對?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴對?x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函數y=f（x）是周期為2的周期函數，
∴f（1）=f（-1）．
∵當x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴在區(qū)間（0，1]上函數為減函數．
又∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（1）=-f（-1）．
∴f（1）=0，即（1）正確；
滿足條件的函數y=f（x）的草圖如下所示：

由圖可知：
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5個零點，即（2）錯誤；
所有（k，0）（k∈Z）點均為函數的對稱中心，故（3）（2016，0）是函數y=f（x）的一個對稱中心，正確；
函數y=f（x）圖象無對稱軸，故（4）錯誤．
∴正確的命題是：（1）（3）．
故答案為：：（1）（3）．

點評 本題主要考查與函數性質有關的命題的真假判斷，涉及函數的奇偶性，周期性，單調性和對稱性，綜合考查函數的性質的綜合應用，是中檔題．