Question

5．已知M是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左支上一點，A、F分別為雙曲線的右頂點和左焦點，且△MAF為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{5}$-1
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 求出M的坐標，利用雙曲線的第二定義，列出方程，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，A（-a，0），F（c，0），△MAF為等邊三角形，
則M（$\frac{c-a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}（c+a）}{2}$），
由雙曲線的定義可得$\frac{c+a}{\frac{c-a}{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{c}{a}$
∴c²-3ac-4a²=0，
∴e²-3e-4=0，
∴e=4．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線C的離心率，考查雙曲線的第二定義，正確運用雙曲線的第二定義是關鍵．