Question

15．若?x∈（0，+∞），不等式ax-lnx＞0恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$]
• B． （-∞，e]
• C． $（{\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 若?x∈（0，+∞），不等式ax-lnx＞0恒成立，則a＞$\frac{lnx}{x}$恒成立，令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用導數法研究其最值，可得答案．

解答 解：若?x∈（0，+∞），不等式ax-lnx＞0恒成立，
則a＞$\frac{lnx}{x}$恒成立，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
故當x=e時，f（x）=$\frac{lnx}{x}$取最大值$\frac{1}{e}$．
故a∈$（{\frac{1}{e}，+∞}）$．
故選：C

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了四種命題，復合命題，充要條件，特稱命題，難度中檔．