Question

3．如圖，F₁，F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左，右焦點，橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1，P為橢圓上第一象限內的一點，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，圓A與△PF₁F₂三邊所在直線都相切，切點分別為B，C，D，則圓A的半徑為（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$-6
• C． 4$\sqrt{3}$-2
• D． 6-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據切線的性質可得|PC|=|PB|，|F₂B|=|F₂D|，|F₁C|=|F₁D|，根據橢圓的定義可知：|PF₁|+|PF₂|=2a，進行等量代換可得|F₁C|+|F₁D|=2a+2c，根據橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1，a=2，即可求出c的值，進而求出|F₁C|的值；設∠PF₂F₁=θ，則45°＜θ＜90°，在Rt△PF₁F₂中，結合|PF₁|+|PF₂|=2a可得2ccosθ+2csinθ=2a，進而求出θ=60°，得到|PF₁|的值，即可求得圓A的半徑．

解答 解：∵圓A與△PF₁F₂三邊所在直線都相切，切點分別為B，C，D，
∴|PC|=|PB|，|F₂B|=|F₂D|，|F₁C|=|F₁D|．
由橢圓的定義可知：|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₁|+|PC|+|F₂D|=2a，即|F₁C|+|F₁D|=2a+2c，
∴|F₁C|=|F₁D|=a+c．
橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1，a=2，
∴c=2（$\sqrt{3}$-1），
∴|F₁C|=|F₁D|=a+c=2$\sqrt{3}$
又∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
則∠F₁PF₂=90°．設∠PF₂F₁=θ．
∵P是橢圓上第一象限內的一點，45°＜θ＜90°，
∴2ccosθ+2csinθ=2a，即cosθ+sinθ=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴1+sin2θ=（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）²=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得θ=60°，
∴|PF₁|=2csinθ=$\sqrt{3}$c，
∴圓A的半徑為|F₁C|-|PF₁|=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$×2（$\sqrt{3}$-1）=4$\sqrt{3}$-6．
故選B．

點評 本題考查橢圓的定義及性質的綜合應用，圓的切線性質，三角形函數的應用，考查計算能力，屬于中檔題．