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20.如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a,b>0)的左、右焦點(diǎn),B是虛軸的端點(diǎn),直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn),線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M,若|MF2|=|F1F2|,則雙曲線C的漸近線方程是(  )
A.y=±xB.$y=±\sqrt{3}x$C.$y=±\frac{1}{2}x$D.$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$

分析 由題意知直線F1B的方程為y=$\frac{b}{c}x+b$,分別與雙曲線的漸近線聯(lián)立,得到P,Q的坐標(biāo),從而得到PQ的中點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出PQ的垂直平分線方程,推導(dǎo)出a與b的等量關(guān)系,由此能求出雙曲線C的漸近線方程.

解答 解:由題意知直線F1B的方程為y=$\frac{b}{c}x+b$,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{c}x+b}\\{\frac{{x}^{\;}}{{a}^{\;}}-\frac{{y}^{\;}}{{b}^{\;}}=0}\end{array}\right.$,得Q($\frac{ac}{c-a},\frac{bc}{c-a}$),
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x+b}\\{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0}\end{array}\right.$,得P(-$\frac{ac}{c+a},\frac{bc}{c+a}$),
∴PQ的中點(diǎn)為($\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}}$,$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$),
∴PQ的垂直平分線方程為y-$\frac{{c}^{2}}{b}$=-$\frac{c}{b}$(x-$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}}$),
令y=0,得x=c(1+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$),∴(1+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$)=3c,
∴a2=2b2
∴雙曲線C的漸近線方程y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$x.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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