Question

20．如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，
PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）證明：BC⊥PD
（2）證明：求點C到平面PDA的距離．

Answer 1

分析 （1）利用平面與平面垂直的性質定理得出BC⊥平面PDC，即可證明BC⊥PD；
（2）利用等體積法，求點C到平面PDA的距離．

解答 （1）證明：因為四邊形ABCD是長方形，所以BC⊥CD，
因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC?面ABCD，
所以BC⊥平面PDC，
因為PD?平面PDC，
所以BC⊥PD；
（2）解：取CD的中點E，連接AE和PE，
因為PD=PC，所以PE⊥CD，
在Rt△PED中，PE=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$．
因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PDC，
所以PE⊥平面ABCD．
由（1）知：BC⊥平面PDC，
因為四邊形ABCD是長方形，所以BC∥AD，
所以AD⊥平面PDC，
因為PD?平面PDC，所以AD⊥PD．
設點C到平面PDA的距離為h．
因為V_C-PDA=V_P-ACD，
所以h=$\frac{\frac{1}{2}×3×6×\sqrt{7}}{\frac{1}{2}×3×4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，所以點C到平面PDA的距離是$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的性質，線面垂直與線線垂直的判定，考查三棱錐體積等知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．