Question

17．已知數列{a_n}中，其前n項和S_n滿足S_n=3a_n-2（n∈N^*）
（1）求證：數列{a_n}為等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（n+1）•a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數列遞推式求出數列首項，進一步可得當n≥2時，S_n-1=3a_n-1-2，與原遞推式聯立可得數列{a_n}為公比是$\frac{2}{3}$等比數列，并求得通項公式；
（2）把（1）中求得的數列通項公式代入b_n=（n+1）•a_n，利用裂項相消法即可求得數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 （1）證明：由S_n=3a_n-2，①
得a₁=3a₁-2，∴a₁=1．
當n≥2時，S_n-1=3a_n-1-2，②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1，即2a_n=3a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$（n≥2）．
∴數列{a_n}為公比是$\frac{2}{3}$等比數列．
則${a}_{n}=1×（\frac{2}{3}）^{n-1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$；
（2）解：b_n=（n+1）•a_n=（n+1）•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴${T}_{n}=2×（\frac{2}{3}）^{0}+3×（\frac{2}{3}）^{1}+4×（\frac{2}{3}）^{2}+…+$$n（\frac{2}{3}）^{n-2}+（n+1）（\frac{2}{3}）^{n-1}$，③
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}=2×（\frac{2}{3}）^{1}+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+n（\frac{2}{3}）^{n-1}+（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$，④
③-④得：$\frac{1}{3}{T}_{n}=2+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n-1}-（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$=$2+\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{2}{3}}-（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$
=$2+2[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]-（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$．
∴${T}_{n}=12-（n+8）•（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．