Question

3．若圓錐的側面展開圖是半徑為2，中心角為$\frac{5π}{3}$的扇形，則由它的兩條母線所確定的截面面積的最大值為2．

Answer 1

分析 求出圓錐的母線和底面半徑，設截面在圓錐底面的軌跡AB=a，（0＜a≤2r），用a表示出截面的面積，利用基本不等式求出截面的面積最大值．

解答 解：圓錐的母線長l=2，設圓錐的底面半徑為r，
則2πr=2×$\frac{5π}{3}$=$\frac{10π}{3}$．∴r=$\frac{5}{3}$．
設截面在圓錐底面的軌跡AB=a（0＜a≤$\frac{10}{3}$）．
則截面等腰三角形的高h=$\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}$．
∴截面面積S=$\frac{1}{2}ah$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}（4-\frac{{a}^{2}}{2}）}$≤$\frac{4}{2}$=2，
當且僅當a=2$\sqrt{2}$時取等號．
故答案為2．

點評 本題考查了圓錐的結構特征，基本不等式的應用，屬于中檔題．