Question

3．解方程ln（2x+1）=ln（x²-2）；
求函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）^2x+2×（$\frac{1}{2}$）^x（x≤-1）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據方程式，方程的解需要滿足函數定義域要求，再根據對數相等即可列出方程式；
（2）利用換元法轉化為一元二次函數來求原函數的值域即可；

解答 解：（1）由題意：ln（2x+1）=ln（x²-2）；
所以有$\left\{\begin{array}{l}{2x+1＞0}\\{{x}^{2}-2＞0}\\{2x+1={x}^{2}-2}\end{array}\right.$⇒x=3 或-1（負舍）
故方程的解為{x|x=3}；
（2）由題意：函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）^2x+2×（$\frac{1}{2}$）^x（x≤-1）
令t=$（\frac{1}{2}）^{x}$∈[2，+∞），換元后得：
g（t）=t²+2t （t≥2）
g（t）為一元二次函數，開口朝上，對稱軸為t=-1，知：
g（t）在（2，+∞）上單調遞增，g（t）_min=8
故g（t）的值域為[8，+∞）

點評 本題主要考查了方程的解以及定義域，同時考查了利用換元法求函數值域，屬基礎題．