Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中左焦點為F（-2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由c=2，根據橢圓的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求得a=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=4，即可求得橢圓C的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，根據韋達定理及中點坐標公式求得M的坐標，代入圓方程即可求得m的值．

解答 解：（1）由左焦點F（-2，0）．即c=2，
根據橢圓離心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得：a=2$\sqrt{2}$，
由b²=a²-c²=4，
∴橢圓的標準方程：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，
（2）點A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，
△=96-8m²＞0，解得：-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{3}$，
∵點M（x₀，y₀）在圓x²+y²=5上，
∴（-$\frac{2m}{3}$）²+（$\frac{m}{3}$）²=5，解得：m=±3，
∴m的值±3．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題，考查韋達定理及中點坐標公式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．