Question

13．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），變形a_n+1-2a_n=-（a_n-2a_n-1），利用等比數列的通項公式可得：a_n+1-2a_n=（-1）^n-1，變形為：a_n+1+$\frac{1}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n+$\frac{1}{3}（-1）^{n-1}$]，再利用等比數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），
∴a_n+1-2a_n=-（a_n-2a_n-1），
∴數列{a_n+1-2a_n}是等比數列，首項為1，公比為-1．
∴a_n+1-2a_n=（-1）^n-1，
∴a_n+1+$\frac{1}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n+$\frac{1}{3}（-1）^{n-1}$]，
∴數列{a_n+$\frac{1}{3}$（-1）^n-1}為等比數列，公比為2，首項為$\frac{4}{3}$．
∴a_n+$\frac{1}{3}$（-1）^n-1=$\frac{4}{3}$×2^n-1=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．
∴a_n=$\frac{{2}^{n+1}+（-1）^{n}}{3}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．