Question

2．某學生在假期進行某種小商品的推銷，他利用所學知識進行了市場調查，發現這種商品當天的市場價格與他的進貨量（件）加上20成反比．已知這種商品每件進價為2元．他進100件這種商品時，當天賣完，利潤為100元．若每天的商品都能賣完，求這個學生一天的最大利潤是多少？獲得最大利潤時每天的進貨量是多少件？

Answer 1

分析 根據這種商品當天的市場價格與他的進貨量（件）加上20成反比，這種商品每件進價為2元．他進100件這種商品時，當天賣完，利潤為100元，求出比例系數，可得利潤函數，再換元，利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：由題意，設市場價格y元，他的進貨量為x件，則y=$\frac{k}{x+20}$，
∵這種商品每件進價為2元．他進100件這種商品時，當天賣完，利潤為100元，
∴100=（$\frac{k}{120}$-2）×100，∴k=360，
∴利潤L=（$\frac{360}{x+20}$-2）x，
設x+20=t（t≥20），則L=400-（$\frac{7200}{t}$+2t）≤400-240=160，
當且僅當$\frac{7200}{t}$=2t，即t=60，x=40時，最大利潤是160元．

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，正確求出函數的解析式是關鍵．