Question

7．如圖，在2×4的方格紙中，若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是起點和終點均在格點的向量，則向量2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$的夾角余弦值是$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

Answer 1

分析 建立直角坐標系，求得向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的坐標，向量2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$的坐標，以及數量積和模，再由夾角公式計算即可得到所求值．

解答 解：建立坐標系，如圖：
可得$\overrightarrow{a}$=（2，1）-（0，2）=（2，-1），$\overrightarrow{b}$=（4，2）-（1，0）=（3，2），
則2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（4，-2）+（3，2）=（7，0），
$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（2，-1）-（3，2）=（-1，-3），
（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=7×（-1）+0×（-3）=-7，
|2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=7，|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{1+9}$=$\sqrt{10}$，
可得向量2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$的夾角余弦值cos＜2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$＞=$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-7}{7\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案為：$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題主要考查平面向量的數量積的運算，注意運用坐標法，考查運算能力，屬于中檔題．