Question

1．已知雙曲線C以原點O為中心，以坐標軸為對稱軸，過（3，$2\sqrt{6}$）和（-2，-3）兩點．
（1）求雙曲線C的標準方程．
（2）斜率為1的直線l過雙曲線C的右焦點，并且與雙曲線交于A、B兩點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）設雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$（mn＜0），將（3，$2\sqrt{6}$）和（-2，-3）兩點代入雙曲線方程即可求得m和n的值，求得雙曲線C的標準方程；
（2）由（1）可知，求得焦點坐標，設直線AB的方程，代入雙曲線方程，利用韋達定理求得x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{7}{2}$，由弦長公式，點到直線的距離公式及三角形的面積公式即可求得△OAB的面積．

解答 解：設雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$（mn＜0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{m}-\frac{24}{n}=1}\\{\frac{4}{m}-\frac{9}{n}=1}\end{array}\right.$，解得：m=1，n=3，
雙曲線C的標準方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由題意可得：c²=a²+b²=4，c=2，右焦點F₂（2，0），
設直線AB方程為：y=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：2x²-4x-7=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{7}{2}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+14}$=6，
由O到直線AB的距離d=$\frac{丨0-0+2丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$•d•丨AB丨=3$\sqrt{2}$，
∴△OAB的面積3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的方程及性質，考查三角形的面積的求法，注意運用聯立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．