Question

14．若函數f（x）=xlnx-ax²有兩個極值點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• B． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• C． （1，2）
• D． （2，e）

Answer 1

分析 f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點?g（x）=0在區間（0，+∞）上有兩個實數根．求出g（x）的導數，當a≤0時，直接驗證；當a＞0時，利用導數研究函數g（x）的單調性可得，要使g（x）有兩個不同解，只需要g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得即可．

解答 解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，則g（x）=0在區間（0，+∞）上有兩個實數根．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$，
當a≤0時，g′（x）＞0，則函數g（x）在區間（0，+∞）單調遞增，因此g（x）=0在區間（0，+∞）上不可能有兩個實數根，應舍去．
當a＞0時，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2a}$，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2a}$，此時函數g（x）單調遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{2a}$，此時函數g（x）單調遞減．
∴當x=$\frac{1}{2a}$時，函數g（x）取得極大值．
當x趨近于0與x趨近于+∞時，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區間（0，+∞）上有兩個實數根，
則g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
∴實數a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值，考查了等價轉化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．