Question

已知函數 f（x）=

3

sin2x-2sin²x-1
（Ⅰ）求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=

7

，f（C）=-l，若3sinA=sinB，求該三角形的面積S．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦定理,余弦定理

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）由三角函數中的恒等變換應用化簡函數解析式可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）-2，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z即可求得單調遞減區間．
（2）由（1）整理可得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，結合C的范圍，即可求得C，由3sinA=sinB，得3a=b，又由余弦定理即可解得a，b的值，從而由三角形面積公式即可得解．

解答： 解：（1）據題意 f（x）=

3

sin2x+cos2x-2=2sin（2x+

π

6

）-2，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故，單調遞減區間為：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．…（5分）
（2）由（1）可知f（C）=2sin（2C+

π

6

）-2=-1，整理可得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
由C∈（0，π），可知2C+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），進而可得C=

π

3

…（8分）
由3sinA=sinB，得3a=b，又由余弦定理可知：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+9a2-7

6a2

=

1

2

，
解得a=1，b=3，故S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

…（12分）

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于基本知識的考查．