Question

已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折疊成三棱錐，當三棱錐體積最大時，三棱錐外接球的體積為

 

；當三棱錐外接球的體積最小時，三棱錐的體積為

 

．

Answer 1

考點：球內接多面體,球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：畫出圖形，確定三棱錐外接球的半徑，然后求解外接球的體積即可；求出三棱錐的高，即可求出三棱錐外接球的體積最小時，三棱錐的體積．

解答： 解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折疊成三棱錐，
如圖：AB=2，AD=1，CD=1，
∴AC=

2

，BC=

2

，
∴BC⊥AC，
取AC的中點E，AB的中點O，連結DE，OE，
∵當三棱錐體積最大時，
∴平面DCA⊥平面ACB，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=1，就是外接球的半徑為1，
此時三棱錐外接球的體積：

4π

3

．
由題意，A，B，C，D均在外接球上，AC=BC=

2

，BC⊥AC，
∴AB為直徑，
∴OB=1=R，
∴OD=1，
過E作OE⊥AC，則OE=

2

2

，
∵OD=1，
∴三棱錐的高為

2

2

，
∴三棱錐外接球的體積最小時，三棱錐的體積為

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

2

=

2

6

．
故答案為：

4π

3

；

2

6

．

點評：本題考查折疊問題，三棱錐的外接球的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．