Question

已知二次函數f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x），f（x）中有最小值-2，且f（x）的圖象被x軸截得的線段長為4，求此函數解析式．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由條件可得可得f（x）=a（x+2）²-2，a＞0．令y=0，利用韋達定理求得x₂+x₁、x₂•x₁ 的值，再根據f（x）的圖象被x軸截得的線段長為|x₂-x₁|=

(x2+x1)2-4x1•x2

，計算求得結果．

解答： 解：根據二次函數f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x），可得它的圖象的對稱軸方程為x=-2，
再根據f（x）中有最小值-2，可得f（x）=a（x+2）²-2，a＞0．
令y=0，可得ax²+4ax+4a-2=0，∴x₂+x₁=-4，x₂•x₁=4-

2

a

，
∴f（x）的圖象被x軸截得的線段長為|x₂-x₁|=

(x2+x1)2-4x1•x2

=

16-4(4- 2 a )

=4，求得a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

（x+2）²-2=

1

2

x²+2x．

點評：本題主要考查二次函數的性質，韋達定理，屬于基礎題．