Question

17．設函數f（x）=（x+b）lnx，已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直．
（Ⅰ） 求b的值．
（Ⅱ） 若函數$g（x）={e^x}（\frac{f（x）}{x+1}-a）（a≠0）$，且g（x）在區間（0，+∞）上是單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據切線的斜率，求出b的值即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導數，問題a≥$\frac{1}{x}$+ln x，令h（x）=$\frac{1}{x}$+ln x（x＞0），根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2，所以f′（1）=2，-------（2分）
又f′（x）=ln x+$\frac{b}{x}$+1，即ln 1+b+1=2，所以b=1．---------------------------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 g（x）=${e^x}（\frac{f（x）}{x+1}-a）$=e^xln x-ae^x
所以 g′（x）=（$\frac{1}{x}$-a+ln x）e^x（x＞0），----------------------------------------------------（6分）
若g（x）在（0，+∞）上為單調遞減函數，則g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{x}$-a+ln x≤0，所以a≥$\frac{1}{x}$+ln x．-----------------------------------------------------（8分）
令h（x）=$\frac{1}{x}$+ln x（x＞0），則h′（x）=-$\frac{1}{x2}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x2}$
由h′（x）＞0，得x＞1，h′（x）＜0，得0＜x＜1，
故函數h（x）在（0，1]上是減函數，在[1，+∞）上是增函數，
則$\frac{1}{x}$+ln x→∞，h（x）無最大值，g′（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
故g（x）在（0，+∞）不可能是單調減函數．------------------------------------------------------（10分）
若g（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數，則g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{x}$-a+ln x≥0，所以a≤$\frac{1}{x}$+ln x，由前面推理知，h（x）=$\frac{1}{x}$+ln x的最小值為1，
∴a≤1，故a的取值范圍是（-∞，1]．-------------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．