Question

4．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，過左焦點且傾斜角為30°直線與右支交于點A，則雙曲線離心率取值范圍是（　　）

• A． $（{1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． （1，2）
• C． $（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 過左焦點且傾斜角為30°直線與右支交于點A，即$\frac{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即b＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，c＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，離心率公式e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求出離心率的范圍，最后根據雙曲線的離心率大于1，綜合可得e的范圍．

解答 解：過左焦點且傾斜角為30°直線與右支交于點A，即$\frac{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
∴$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
整理得：c＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴e的范圍是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）
故選C．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查數形結合思想，屬于中檔題．