Question

10．（1）已知圓M過點C（1，-1），D（-1，1），且圓心M在x+y-2=0上．求圓M的方程；
（2）圓O的方程為x²+y²=1，直線l₁過點A（3，0），且與圓O相切，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）設出圓的標準方程，由已知列關于a，b，r的方程組，求解方程組得到a，b，r的值，則圓的方程可求；
（2）由題意可知直線線l₁的斜率存在，寫出直線方程點斜式，化為一般式，由圓心到直線的距離等于圓的半徑求得k，則直線l₁的方程可求．

解答 解：（1）設圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}（1-a{）^2}+{（-1-b）^2}={r^2}\\（-1-a{）^2}+{（1-b）^2}={r^2}\\ a+b-2=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\\{r^2}=4\end{array}\right.$．
故圓M的方程為（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）∵直線l₁過點A（3，0），且與圓C：x²+y²=1相切，可知直線l₁的斜率存在，
設直線l₁的方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
∴圓心O（0，0）到直線l₁的距離d=$\frac{{|{3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=1，解得k=±$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴直線l₁的方程為y=±$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$（x-3）．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關系的應用，訓練了利用待定系數法求圓的方程，是中檔題．