Question

已知f（x）=x+

a

x

（a＞0）．（兩種方法解答）
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）先求f（x）的定義域，知道定義域關于原點對稱，然后容易求得f（-x）=-f（x），所以得到函數f（x）為奇函數；
（2）可以用兩種方法討論f（x）的單調性：第一種方法，可以用導數法，求f′（x），通過解f′（x）≥0，f′（x）＜0即可得到f（x）的單調區間，即判斷出f（x）的單調性；第二種方法，用單調性的定義，在定義域上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁），f（x₂）的大小，從而得出f（x）的單調區間，從而判斷出f（x）的單調性．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為{x|x≠0}；
f（-x）=-x-

a

x

=-f（x）；
∴f（x）為奇函數；
（2）方法（一）：
f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

；
∴x∈[-

a

，0)或(0，

a

]時，f′（x）≤0，∴f（x）在[-

a

，0)，(0，

a

]上單調遞減；
x∈(-∞，-

a

)，或(

a

，+∞)時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-

a

），(

a

，+∞)上單調遞增；
方法（二）：
設x₁，x₂∈{x|x≠0}，且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)=

x1-x2

x1x2

(x1x2-a)；
∴①x1，x2∈[-

a

，0)，或(0，

a

]時，x₁x₂-a≤0，x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[-

a

，0)，(0，

a

]上單調遞減；
②x1，x2∈(-∞，-

a

)，或(

a

，+∞)時，x₁x₂-a＞0，x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）上單調遞增．

點評：考查奇函數的定義，以及判斷一個函數奇偶性的過程，根據導數符號判斷函數單調性的方法，以及單調性的定義及利用定義判斷函數的單調性的過程．