Question

過(guò)橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的左焦點(diǎn)作傾斜角為

π

3

的弦AB，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓方程求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的傾斜角求出斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得到直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，然后由弦長(zhǎng)公式得答案．

解答： 解：由

x2

4

+

y2

2

=1，得a²=4，b²=2，
∴c²=a²-b²=2，則c=

2

．
∴橢圓的左焦點(diǎn)為F1(-

2

，0)，
又直線AB的傾斜角為

π

3

，
∴斜率為tan

π

3

=

3

．
∴直線AB的方程為y=

3

(x+

2

)．
代入橢圓

x2

4

+

y2

2

=1得：7x2+12

2

x+8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

12 2

7

，x1x2=

8

7

．
∴|AB|=

1+( 3 )2

•|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(- 12 2 7 )2-4× 8 7

=

16

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．