Question

已知函數f（x）=

x

x+1

，
（1）用函數單調性定義證明：f（x）在（-1，+∞）是增函數；
（2）試求f（x）=

lnx

lnx+1

在區間[2，e²]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據單調性的定義，設x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）lnx在[2，e²]上是增函數，且ln2＞0，所以根據（1）及單調性的定義，x增大時，lnx增大，f（x）增大，也就是x增大時，f（x）增大，所以說f（x）在[2，e²]上是增數，所以f（x）的最大值為f（e²），最小值為f（2），所以帶入解析式求出即可．

解答： 解：（1）證明：
設x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，則：
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

；
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數；
（2）lnx在[2，e²]上是增函數，ln2＞0；
∴由（1）知f（x）=

lnx

lnx+1

在區間[2，e²]上是增函數；
∴f（2）=

ln2

ln2+1

是f（x）在[2，e²]上的最小值；
f（e²）=

2

3

是f（x）在[2，e²]上的最大值．

點評：考查單調性的定義，以及利用單調性的定義證明函數單調性的過程，以及對數函數的單調性，根據函數單調性求最值的方法．