Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ＜π）是R上的偶函數，其圖象經過點（0，2），又f（x）的圖象關于N（

3π

4

，0）對稱，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：根據函數y=Asin（ωx+φ）是R上的偶函數，求得φ=

π

2

．由于函數的圖象過點M（0，2），求得 A=2，可得函數y=2cosωx．再由f（x）的圖象關于點N（

3π

4

，0）對稱，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z，從而解得ω=

2

3

或2．即能夠求出f（x）的解析式．

解答： 解：根據函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函數，故φ=

π

2

．
由于函數的圖象過點M（0，2），可得Asinφ=Asin

π

2

=2，∴A=2，故函數y=2cosωx．
再由f（x）的圖象關于點N（

3π

4

，0）對稱，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z．
可解得：ω=

4k

3

-

2

3

，k∈z．
∵0＜ω≤2，∴ω=

2

3

或2．
∴f（x）=2sin（

2

3

x+

π

2

）或f（x）=2sin（2x+

π

2

）．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，復合三角函數的圖象和性質應用，屬于基本知識的考查．