Question

已知異面直線a，b所成的角為θ=60°，P為空間一點，則
（1）過點P與直線a，b所成的角為45°的直線有幾條？
（2）過點P與直線a，b所成的角為60°的直線有幾條？
（3）過點P與直線a，b所成的角為70°的直線有幾條？

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：根據異面直線a與b所成的角為60°，P為空間一點，過P分別作直線a，b的平行線，得到∠APB=60°，過P點作直線c，d分別是角∠APB的平分線和面APB的垂線，這時c與a，b所成角為30°，d與a，b所成角為90°，然后直線從c轉到直線d的過程中一定經過30°、50°、60°、70°的角，可求出直線的條數．過大小為60°的二面角外一點P作與它的兩個面都成60°的直線，可轉化為過點P與兩個平面的垂所成的角為30°，直線的條數．

解答： 解：把異面直線a，b平移到相交，使交點為P，
此時∠APB=60°，過P點作直線c平分∠APB，這時c與a，b所成角為30°，一條
過P點作直線d垂直a和b，這時d與a，b所成角為90°
直線從c向兩邊轉到d時與a，b所成角單調遞增，必有經過30°到90°的角，
因為兩邊，所以
（1）過點P與直線A，B所成的角為45°的直線有有2條．
（2）過點P與直線A，B所成的角為60°的直線有3條；
（3）過點P與直線A，B所成的角為70°的直線有4條；

點評：本題考查了魚米之鄉所成的角，體現了平移法異面直線所成的角．