Question

已知點(diǎn)P（0，2），設(shè)直線l：y=kx+b（k，b∈R）與圓C：x²+y²=4相交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)．
（1）若

PA

•

PB

=0，求b的值；
（2）若|AB|=2

3

，且直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
（3）當(dāng)|PA|•|PB|=4，時(shí)，試證明點(diǎn)P到直線l的距離為定值，并求出該定值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意，直線l過圓心O，由此求出b的值；
（2）當(dāng)|AB|=2

3

時(shí)，利用截距相等，設(shè)出直線l的方程，
由圓心O到直線l的距離，求出a的值；
（3）當(dāng)|PA|•|PB|=4時(shí)，用特殊點(diǎn)法求出點(diǎn)P到直線l的距離，再證明點(diǎn)P到直線l的距離是定值即可．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（0，2）在圓C：x²+y²=4上，且直線l：y=kx+b與圓C交于A，B兩點(diǎn)，
當(dāng)

PA

•

PB

=0時(shí)，

PA

⊥

PB

，
∴直線l過圓心O（0，0），∴b=0；
（2）當(dāng)|AB|=2

3

，且直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，b≠0；
設(shè)直線l的方程為x+y=a，
則圓心O（0，0）到直線l：x+y-a=0的距離是
d=

r2-( |AB| 2 )2

，
即

|-a|

2

=

22- (2 3 )2 4

，
解得a=±

2

，
∴直線l的方程為x+y+

2

=0，或x+y-

2

=0；
（3）當(dāng)|PA|•|PB|=4時(shí)，用特殊點(diǎn)法求出點(diǎn)P到直線l的距離為1，如圖所示；
現(xiàn)在證明1是點(diǎn)P（0，2）到直線l：y=kx+b=0的距離的定值；
由點(diǎn)P（0，2）到直線l：y=kx+b=0的距離是1，
∴

|-2+b|

1+k2

=1，
∴（b-2）²=1+k²，
∴k²=b²-4b+3；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+b x2+y2=4

，消去y，
得x²+（kx+b）²=4
（k²+1）x²+2kbx+b²-4=0；
∴x₁+x₂=-

2kb

k2+1

，x₁x₂=

b2-4

k2+1

；
∵|PA|•|PB|=4，∴

x12+(y1-2)2

•

x22+(y2-2)2

=4，
∴（x12+y12-4y₁+4）（x22+y22-4y₂+4）=16，
∴（4-4y₁+4）（4-4y₂+4）=16，
∴（2-y₁）（2-y₂）=1，
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+3=0；
即（kx₁+b）（kx₂+b）-2（kx₁+b+kx₂+b）+3=0，
k²x₁x₂+（kb-2k）（x₁+x₂）-4b+3=0，
∴k²•

b2-4

k2+1

+（kb-2b）•（-

2kb

k2+1

）-4b+3=0，
化簡(jiǎn)得k²=b²-4b+3；
即證點(diǎn)P到直線l的距離為定值，且定值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，考查了定值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．