Question

9．給出下列命題：
①已知a，b是兩條不重合的直線，α，β是兩個相交的平面，若a，b在平面α內的射影是兩條相交直線，a，b在平面β內的射影是兩條平行直線，則a，b是兩條異面直線；
②用一個平面取截一個正方體，截面圖象可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形；
③已知矩形ABCD頂點都在表面積為64π的球O的球面上，且AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，則棱錐O-ABCD的體積為24$\sqrt{3}$；
④與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB，CC₁，A₁D₁所在直線距離都相等的點有且僅有1個，
其中所有正確命題的序號是①②．

Answer 1

分析 對①可討論若a，b是兩條平行直線，若a，b是兩條相交直線，考慮在平面內的射影，即可判斷；
對②，用一個平面取截一個正方體，最少與三個面相交，最多與六個面相交，即可判斷；
對③，分別求得球的半徑和矩形的面積和所在圓的半徑，可得球心到截面的距離，由棱錐體積公式，計算即可判斷；
對④，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如圖所示空間直角坐標系，并設該正方體的棱長為1，連接B₁D，并在B₁D上任取一點P，并設該正方體的棱長為1，連接B₁D，并在B₁D上任取一點P，運用向量的坐標和模，點到直線的距離，即可判斷．

解答 解：①，若a，b是兩條平行直線，則a，b在平面α內的射影不可能是兩條相交直線，a，b在平面β內的射影是兩條平行直線，不成立；若a，b是兩條相交直線，則a，b在平面α內的射影可能是兩條相交直線，a，b在平面β內的射影不可能是兩條平行直線，不成立；故a，b是兩條異面直線，故①正確；
②，用一個平面取截一個正方體，最少與三個面相交，最多與六個面相交，截面圖象可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，故②正確；
③，矩形ABCD的對角線長為$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，矩形的面積為s=12$\sqrt{3}$，矩形所在圓面的半徑為r=2$\sqrt{3}$，
由球表面積公式可得，4πR²=64π，解得R=4，球心到截面的距離為d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=2，
則棱錐O-ABCD的體積為$\frac{1}{3}$d•s=$\frac{1}{3}$×2×12$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，故③不正確；
④，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如圖所示空間直角坐標系，
并設該正方體的棱長為1，連接B₁D，并在B₁D上任取一點P，
因為$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，1），所以設P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A₁D，垂足為E，再作EF⊥A₁D₁，垂足為F，
則PF是點P到直線A₁D₁的距離．
所以PF=$\sqrt{{a}^{2}+（1-a）^{2}}$；
同理點P到直線AB、CC₁的距離也是$\sqrt{{a}^{2}+（1-a）^{2}}$．
所以B₁D上任一點與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離都相等，
所以與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離相等的點有無數個．故④不正確．
故答案為：①②．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要是空間兩直線的位置關系、平面截正方體、球的截面性質和棱錐的體積和正方體中的點與棱的距離，注意運用舉反例、直接法和建立空間直角坐標系，考查判斷和推理、空間想象能力和運算能力，具有一定的綜合性．