Question

19．已知雙曲線方程為$\frac{x^2}{{{m^2}+4}}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若其過焦點的最短弦長為2，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{6}}}{2}，+∞）$
• C． $（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由題意，通徑為$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，a≥2，可得b=$\sqrt{a}$，利用e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，e＞1，即可得出結論．

解答 解：由題意，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，a≥2
∴b=$\sqrt{a}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生的計算能力，比較基礎．