Question

14．已知函數$f（x）=4cosωxsin（{ωx-\frac{π}{6}}）（{ω＞0}）$的最小正周期是π．
（1）求函數f（x）在區間x∈（0，π）的單調遞增區間；
（2）求f（x）在$[{\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）化函數f（x）為正弦型函數，根據f（x）的最小正周期是π求出ω，寫出f（x）解析式；
根據正弦函數的單調性求出f（x）在x∈（0，π）上的單調遞增區間；
（2）根據x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]時2x-$\frac{π}{6}$的取值范圍，再求出對應函數f（x）的最值即可．

解答 解：（1）函數f（x）=4cosωxsin（ωx-$\frac{π}{6}$）
=4cosωx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$cosωx）
=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-2cos²ωx+1-1
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx-1
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，
且f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{2ω}=π$，所以ω=1；
從而f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1；
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ（{k∈Z}）$，
所以函數f（x）在x∈（0，π）上的單調遞增區間為$（{0，\frac{π}{3}}]$和$（{\frac{5π}{6}，π}）$．
（2）當x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]時，2x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
所以2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]，
所以2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，2]，
所以當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{12}$，即x=$\frac{π}{8}$時f（x）取得最小值$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$-1，
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時f（x）取得最大值1；
所以f（x）在$[{\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}}]$上的最大值和最小值分別為$1、\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}-1$．

點評 本題考查了三角函數的化簡以及三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題．