Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右頂點、上頂點分別為A，B，直線AB被圓O：x²+y²=1截得的弦長為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過點B且斜率為k的動直線l與橢圓C的另一個交點為M，$\overrightarrow{ON}$=λ（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OM}$），若點N在圓O上，求正實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意離心率可得a=2b，設出AB所在直線方程，由圓心到直線的距離求得b，則橢圓方程可求；
（2）設點M的坐標為（x₀，y₀）（y₀≠0），由已知向量等式得點N的坐標為（λx₀，λ（y₀+1）），結合N在圓上，M在橢圓上，分離參數λ求解．

解答 解：（1）由$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，∴a=2b，
∴直線AB的方程為$\frac{x}{2b}+\frac{y}=1$，即x+2y-2b=0，
圓心O（0，0）到直線AB的距離為d=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2b}{\sqrt{5}}$，得b=1，
橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設點M的坐標為（x₀，y₀）（y₀≠0），則點N的坐標為（λx₀，λ（y₀+1）），
∴${λ}^{2}[{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}+1）^{2}]=1$，得${λ}^{2}=\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+2{y}_{0}+1}$，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
∴${λ}^{2}=\frac{1}{-3{{y}_{0}}^{2}+2{y}_{0}+5}$，y₀∈（-1，1），得${λ}^{2}≥\frac{3}{16}$，
∴正實數λ的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{4}，+∞$）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓位置關系的應用，是中檔題．