Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（3，-1），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-5，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，求實數x的值；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，求|$\overrightarrow{c}$|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知向量的坐標求得|$\overrightarrow{a}$|，結合$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$列關于x的方程求得x值；
（Ⅱ）求出$|\overrightarrow{c}{|}^{2}$的最小值，開方得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（3，-1），∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{10}$，
又$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-5，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}•（x\overrightarrow{a}+（1-x）\overrightarrow{b}）=0$，
即$x|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（1-x）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=10x-5（1-x）=0$，解得：x=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow{b}$，得：
$|\overrightarrow{c}{|}^{2}=[x\overrightarrow{a}+（1-x）\overrightarrow{b}]^{2}$=${x}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2x（1-x）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+（1-x）^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$
=10x²-10x（1-x）+5（1-x）²=5（5x²-4x+1）．
∴當x=$\frac{2}{5}$時，$|\overrightarrow{c}{{|}^{2}}_{min}=1$，則|$\overrightarrow{c}$|的最小值為1．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查向量垂直與數量積的關系，訓練了二次函數最值的求法，是中檔題．