Question

8．如圖1為正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC∩BD=O，將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC=a，得到三棱錐A-BCD（如圖2）
（1）點(diǎn)E在棱AB上，且AE=3EB，點(diǎn)F在棱AC上，且AF=2FC，求證：DF∥平面CED
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)G，連接GF，GD，推導(dǎo)出GF∥EC，從而GF∥平面CEO．推導(dǎo)出GD∥EO，從而GD∥平面CEO，進(jìn)而平面GDF∥平面CEO，由此能證明DF∥平面CEO．
（2）推導(dǎo)出BD⊥平面AOC，由${V}_{A-BCD}={V}_{B-AOC}+{{V}_{D-AOC}}^{\;}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}•（BO+DO）$，能求出當(dāng)a=2時(shí)，三棱錐的體積最大．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）取AB的中點(diǎn)G，連接GF，GD，
在△AEC中，$\frac{AG}{AE}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{AG}{AE}=\frac{AF}{AC}$，∴GF∥EC，
又GF?平面CEO，EC?平面CEO，∴GF∥平面CEO．
在△GBD中，∵E，O分別是BG，BD的中點(diǎn)，
∴GD∥EO，又GD?平面CEO，EO?平面CEO，
∴GD∥平面CEO，GF∩GD=G，GF，GD?平面GDF，
所以平面GDF∥平面CEO，DF?平面GDF，
∴DF∥平面CEO．…（6分）
解：（2）∵AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩GO=O，
∴BD⊥平面AOC，
∴${V}_{A-BCD}={V}_{B-AOC}+{{V}_{D-AOC}}^{\;}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}•（BO+DO）$
=$\frac{1}{6}•\sqrt{2}•\sqrt{2}•2\sqrt{2}•sin∠AOC$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}sin∠AOC$．
∴當(dāng)$∠AOC=\frac{π}{2}$時(shí)，三棱錐的體積最大為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，…（10分）
此時(shí)，a²=OA²+OC²=2+2=4，解得a=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的靈活運(yùn)用．