Question

7．極坐標系與直角坐標系xOy取相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}（t}\right.$為參數）．曲線C的極坐標方程為$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+si{n^2}θ}}}$．
（1）求直線l的傾斜角和曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線C與曲線C交于A，B兩點，與x軸的交點為M，求$\frac{1}{{|{AM}|}}+\frac{1}{{|{BM}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l的參數方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t為參數），消去參數t化為普通方程，可得直線l的傾斜角；利用互化公式將曲線C的極坐標方程$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$化為直角坐標方程．
（2）易知直線l與x軸的交點為M（1，0），從而直線l的參數方程的標準形式為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}T}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}T}\end{array}}\right.（T$為參數）．將直線l的方程代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得7T²+4T-4=0，利用根與系數的關系、參數的意義進而得出．

解答 解：（1）由直線l的參數方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t為參數）化為普通方程為$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$，將曲線C的極坐標方程$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$化為直角坐標方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）易知直線l與x軸的交點為M（1，0），
從而直線l的參數方程的標準形式為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}T}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}T}\end{array}}\right.（T$為參數）．
將直線l的方程代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得$（1+\frac{1}{2}T{）^2}+2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}T{）^2}-2=0$，
整理得7T²+4T-4=0，所以${T_1}+{T_2}=-\frac{4}{7}，{T_1}{T_2}=-\frac{4}{7}$，
故$\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|BM|}$=$\frac{|AM|+|BM|}{|AM||BM|}$=$\frac{|{T}_{1}-{T}_{2}|}{|{T}_{1}{T}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{T}_{1}+{T}_{2}）^{2}-4{T}_{1}{T}_{2}}}{|{T}_{1}{T}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{\frac{16}{49}+\frac{16}{7}}}{\frac{4}{7}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、一元二次根與系數的關系、參數的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．