Question

7．在單調遞增的等比數(shù)列{a_n}中，a₁•a₉=64，a₃+a₇=20，求a₁₁=64．

Answer 1

分析 由已知得a₃，a₇是方程x²-20x+64=0的兩個根，且a₃＜a₇，從而求出a₃=4，a₇=16，再由等比數(shù)列通項公式列方程組求出首項和公比，由此能求出a₁₁．

解答 解：∵單調遞增的等比數(shù)列{a_n}中，
a₁•a₉=64，a₃+a₇=20，
∴a₃•a₇=a₁•a₉=64，
∴a₃，a₇是方程x²-20x+64=0的兩個根，且a₃＜a₇，
解方程x²-20x+64=0，
得a₃=4，a₇=16，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}{q}^{6}=16}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=2，q=\sqrt{2}$，
∴a₁₁=a₁q¹⁰=2×（$\sqrt{2}$）¹⁰=64．
故答案為：64．

點評 本題考查等比數(shù)列的第11項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運用．