Question

3．如圖動直線l：y=b與拋物線y²=4x交于點A，與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1交于拋物線右側的點B，F為拋物線的焦點，則|AF|+|BF|+|AB|的最大值為（　　）

• A． $3\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用拋物線的定義，求出拋物線的焦點坐標，求出B的坐標，轉化所求的距離為x的函數的關系式，然后求解最大值即可．

解答 解：直線l：y=b與拋物線y²=4x交于點A，F為拋物線的焦點，直線y=b與x=-1的交點為D，由拋物線定義，可知AF=AD，|AF|+|BF|+|AB|的最大值，
就是BD+BF的最大值，F（1，0），設B（x，b），橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1的焦點坐標（1，0）．
可得$\frac{{x}^{2}}{2}+{b}^{2}=1$，|AF|+|BF|+|AB|=x+1+$\sqrt{（x-1）^{2}+{b}^{2}}$=x+1+$\sqrt{（x-1）^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{2}}$
=x+1+$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{2}-2x+2}$=x+1+$\frac{\sqrt{2}}{2}（2-x）$=1+$\sqrt{2}$+x（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），x∈（0，$\sqrt{2}$]．
當x=$\sqrt{2}$時，1+$\sqrt{2}$+x（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題考查直線與橢圓以及拋物線的位置關系的綜合應用，考查函數思想的應用，是中檔題．