Question

4．各項均為正數的數列{a_n}中，a₁=1，S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N⁺，6S_n=a_n²+3a_n+2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由6S_n=a_n²+3a_n+2，可得n≥2時，6S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-1+2，相減可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，由a_n+a_n-1＞0，a_n-a_n-1=3，利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂項求和方法”即可得出．

解答 解：（1）由6S_n=a_n²+3a_n+2，可得n≥2時，6S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-1+2，
相減可得：6a_n=a_n²+3a_n+2-（${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-1+2），
整理為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，a_n-a_n-1=3，
∴數列{a_n}是等差數列，公差為3，a₁=1．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{3}$$[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$．

點評 本題考查了“裂項求和方法”、等差數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．