Question

17．已知點M（2$\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，且點M到兩焦點距離之和為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底作等腰三角形，頂點為P（-3，2），求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由2a=4$\sqrt{3}$，可得a=2$\sqrt{3}$．又點M（2$\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在橢圓G上，可得$\frac{2}{3}+\frac{4}{3{b}^{2}}$=1，解得b²，即可得出．
（2）設直線l的方程為y=x+m，與橢圓方程聯立得4x²+6mx+3m²-12=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中點為E（x₀，y₀），利用中檔坐標公式可得E坐標．因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB．解得m．利用兩點之間的距離公式可得|AB|．點P（-3，2）到直線AB：x-y+2=0的距離d，可得△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•d．

解答 解：（1）∵2a=4$\sqrt{3}$，∴a=2$\sqrt{3}$．
又點M（2$\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在橢圓G上，∴$\frac{2}{3}+\frac{4}{3{b}^{2}}$=1，解得b²=4，…（4分）
∴橢圓G的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．…（5分）
（2）設直線l的方程為y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得4x²+6mx+3m²-12=0．①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中點為E（x₀，y₀），
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{4}$．
因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1，解得m=2．…（10分）
此時方程①為4x²+12x=0，解得x₁=-3，x₂=0，
所以y₁=-1，y₂=2．
所以|AB|=3$\sqrt{2}$．
此時，點P（-3，2）到直線AB：x-y+2=0的距離d=$\frac{|-3-2+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
所以△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{9}{2}$．…（12分）

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、等腰三角形的性質、相互垂直的直線斜率之間的關系、點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．